В правильной треугольной призме все ребра. Правильная треугольная призма: определение, формулы для площади поверхности и объема

С помощью этого видеоурока все желающие смогут самостоятельно познакомиться с темой «Понятие многогранника. Призма. Площадь поверхности призмы». В ходе занятия учитель расскажет о том, что представляют собой такие геометрические фигуры, как многогранник и призмы, даст соответствующие определения и объяснит их суть на конкретных примерах.

С помощью этого урока все желающие смогут самостоятельно познакомиться с темой «Понятие многогранника. Призма. Площадь поверхности призмы».

Определение . Поверхность, составленную из многоугольников и ограничивающую некоторое геометрическое тело, будем называть многогранной поверхностью или многогранником.

Рассмотрим следующие примеры многогранников:

1. Тетраэдр ABCD - это поверхность, составленная из четырех треугольников: АВС , ADB , BDC и ADC (рис. 1).

Рис. 1

2. Параллелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - это поверхность, составленная из шести параллелограммов (рис. 2).

Рис. 2

Основными элементами многогранника являются грани, ребра, вершины.

Грани - это многоугольники, составляющие многогранник.

Ребра - это стороны граней.

Вершины - это концы ребер.

Рассмотрим тетраэдр ABCD (рис. 1). Укажем его основные элементы.

Грани : треугольники АВС, ADB, BDC, ADC .

Ребра : АВ, АС, ВС, DC , AD , BD .

Вершины : А, В, С, D .

Рассмотрим параллелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (рис. 2).

Грани : параллелограммы АА 1 D 1 D, D 1 DСС 1 , ВВ 1 С 1 С, АА 1 В 1 В, ABCD, A 1 B 1 C 1 D 1 .

Ребра : АА 1 , ВВ 1 , СС 1 , DD 1 , AD, A 1 D 1 , B 1 C 1 , BC, AB, A 1 B 1 , D 1 C 1 , DC.

Вершины : A, B, C, D, A 1 ,B 1 ,C 1 ,D 1 .

Важным частным случаем многогранника является призма.

АВСА 1 В 1 С 1 (рис. 3).

Рис. 3

Равные треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 расположены в параллельных плоскостях α и β так, что ребра АА 1 , ВВ 1 , СС 1 параллельны.

То есть АВСА 1 В 1 С 1 - треугольная призма, если:

1) Треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 равны.

2) Треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 расположены в параллельных плоскостях α и β: ABC ║А 1 B 1 C (α ║ β).

3) Ребра АА 1 , ВВ 1 , СС 1 параллельны.

АВС и А 1 В 1 С 1 - основания призмы.

АА 1 , ВВ 1 , СС 1 - боковые ребра призмы.

Если с произвольной точки Н 1 одной плоскости (например, β) опустить перпендикуляр НН 1 на плоскость α, то этот перпендикуляр называется высотой призмы.

Определение . Если боковые ребра перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой, а в противном случае - наклонной.

Рассмотрим треугольную призму АВСА 1 В 1 С 1 (рис. 4). Эта призма - прямая. То есть, ее боковые ребра перпендикулярны основаниям.

Например, ребро АА 1 перпендикулярно плоскости АВС . Ребро АА 1 является высотой этой призмы.

Рис. 4

Заметим, что боковая грань АА 1 В 1 В перпендикулярна к основаниям АВС и А 1 В 1 С 1 , так как она проходит через перпендикуляр АА 1 к основаниям.

Теперь рассмотрим наклонную призму АВСА 1 В 1 С 1 (рис. 5). Здесь боковое ребро не перпендикулярно плоскости основания. Если опустить из точки А 1 перпендикуляр А 1 Н на АВС , то этот перпендикуляр будет высотой призмы. Заметим, что отрезок АН - это проекция отрезка АА 1 на плоскость АВС .

Тогда угол между прямой АА 1 и плоскостью АВС это угол между прямой АА 1 и её АН проекцией на плоскость, то есть угол А 1 АН .

Рис. 5

Рассмотрим четырехугольную призму ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (рис. 6). Рассмотрим, как она получается.

1) Четырехугольник ABCD равен четырехугольнику A 1 B 1 C 1 D 1 : ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 .

2) Четырехугольники ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 ABC ║А 1 B 1 C (α ║ β).

3) Четырехугольники ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 расположены так, что боковые ребра параллельны, то есть: АА 1 ║ВВ 1 ║СС 1 ║DD 1 .

Определение . Диагональ призмы - это отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани.

Например, АС 1 - диагональ четырехугольной призмы ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 .

Определение . Если боковое ребро АА 1 перпендикулярно плоскости основания, то такая призма называется прямой.

Рис. 6

Частным случаем четырёхугольной призмы является известный нам параллелепипед. Параллелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 изображен на рис. 7.

Рассмотрим, как он устроен:

1) В основаниях лежат равные фигуры. В данном случае - равные параллелограммы ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 : ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 .

2) Параллелограммы ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 лежат в параллельных плоскостях α и β: ABC ║A 1 B 1 C 1 (α ║ β).

3) Параллелограммы ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 расположены таким образом, что боковые ребра параллельны между собой: АА 1 ║ВВ 1 ║СС 1 ║DD 1 .

Рис. 7

Из точки А 1 опустим перпендикуляр АН на плоскость АВС . Отрезок А 1 Н является высотой.

Рассмотрим, как устроена шестиугольная призма (рис. 8).

1) В основании лежат равные шестиугольники ABCDEF и A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 : ABCDEF = A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 .

2) Плоскости шестиугольников ABCDEF и A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 параллельны, то есть основания лежат в параллельных плоскостях: ABC ║А 1 B 1 C (α ║ β).

3) Шестиугольники ABCDEF и A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 расположены так, что все боковые ребра между собой параллельны: АА 1 ║ВВ 1 …║FF 1 .

Рис. 8

Определение . Если какое-нибудь боковое ребро перпендикулярно плоскости основания, то такая шестиугольная призма называется прямой.

Определение . Прямая призма называется правильной, если её основания - правильные многоугольники.

Рассмотрим правильную треугольную призму АВСА 1 В 1 С 1 .

Рис. 9

Треугольная призма АВСА 1 В 1 С 1 - правильная, это значит, что в основаниях лежат правильные треугольники, то есть все стороны этих треугольников равны. Также данная призма - прямая. Значит, боковое ребро перпендикулярно плоскости основания. А это значит, что все боковые грани - равные прямоугольники.

Итак, если треугольная призма АВСА 1 В 1 С 1 - правильная, то:

1) Боковое ребро перпендикулярно плоскости основания, то есть является высотой: AA 1 ⊥ АВС .

2) В основании лежит правильный треугольник: ∆АВС - правильный.

Определение . Площадью полной поверхности призмы называется сумма площадей всех её граней. Обозначается S полн .

Определение . Площадью боковой поверхности называется сумма площадей всех боковых граней. Обозначается S бок .

Призма имеет два основания. Тогда площадь полной поверхности призмы:

S полн = S бок + 2S осн.

Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.

Доказательство проведем на примере треугольной призмы.

Дано : АВСА 1 В 1 С 1 - прямая призма, т. е. АА 1 ⊥ АВС .

АА 1 = h.

Доказать : S бок = Р осн ∙ h.

Рис. 10

Доказательство .

Треугольная призма АВСА 1 В 1 С 1 - прямая, значит, АА 1 В 1 В, АА 1 С 1 С, ВВ 1 С 1 С - прямоугольники.

Найдем площадь боковой поверхности как сумму площадей прямоугольников АА 1 В 1 В, АА 1 С 1 С, ВВ 1 С 1 С:

S бок = АВ∙ h + ВС∙ h + СА∙ h = (AB + ВС + CА) ∙ h = P осн ∙ h.

Получаем, S бок = Р осн ∙ h, что и требовалось доказать.

Мы познакомились с многогранниками, призмой, её разновидностями. Доказали теорему о боковой поверхности призмы. На следующем уроке мы будем решать задачи на призму.

1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е издание, исправленное и дополненное - М. : Мнемозина, 2008. - 288 с. : ил.
2. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. - М.: Дрофа, 1999. - 208 с.: ил.
3. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. - 6-е издание, стереотип. - М. : Дрофа, 008. - 233 с. :ил.

1. Якласс ().
2. Shkolo.ru ().
3. Старая школа ().
4. WikiHow ().

1. Какое минимальное число граней может иметь призма? Сколько вершин, ребер у такой призмы?
2. Существует ли призма, которая имеет в точности 100 ребер?
3. Боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60°. Найдите высоту призмы, если боковое ребро равно 6 см.
4. В прямой треугольной призме все ребра равны. Площадь ее боковой поверхности составляет 27 см 2 . Найдите площадь полной поверхности призмы.

Во всех школах в старших классах проходят курс стереометрии, в котором рассматривают характеристики различных пространственных фигур. Данная статья посвящена изучению свойств одной из таких фигур. Рассмотрим, что такое правильная треугольная призма.

Призма в геометрии

Согласно стереометрическому является объемной фигурой, состоящей из n параллелограммов и двух одинаковых n-угольных оснований, где n - это целое положительное число. Оба основания расположены в параллельных плоскостях, а параллелограммы соединяют попарно их стороны в единую фигуру.

Любую призму можно получить следующим способом: следует взять плоский n-угольник и переместить его параллельно самому себе в другую плоскость. В процессе перемещения вершины n-угольника прочертят n отрезков, которые будут боковыми ребрами призмы.

Призмы могут быть выпуклыми и вогнутыми, прямыми и косоугольными, правильными и неправильными. Все эти виды фигур отличаются друг от друга формой n-угольников в основании, а также их расположением относительно перпендикулярного им отрезка, длина которого является высотой призмы. Ниже рисунок демонстрирует набор призм с разным числом углов в основании и количеством боковых граней.

Правильная треугольная призма

Первая призма на фотографии выше является правильной треугольной. Она состоит из двух одинаковых равносторонних треугольников и из трех прямоугольников. Прямоугольник является частным случаем параллелограмма, поэтому рассматриваемая фигура удовлетворяет изложенному ранее стереометрическому определению.

Помимо пяти граней, треугольная призма образована шестью вершинами, которые принадлежат обоим основаниям, и девятью ребрами, три из которых являются боковыми.

Важным свойством правильной треугольной призмы является то, что ее высота совпадает с длиной бокового ребра. Все эти ребра равны друг другу, а боковые прямоугольники пересекают основания под прямыми углами. Отметим, что прямые между основаниями и боковыми гранями приводят к тому, что параллелограммы наклонной призмы становятся прямоугольниками в прямой фигуре. Очевидно, что при определенных длинах ребер прямоугольники могут стать квадратами.

Важными свойствами любой объемной фигуры являются площадь ее поверхности и заключенный в ней объем пространства. Изучаемая призма не является исключением, поэтому рассмотрим ее подробные характеристики.

Площадь поверхности

Площадь правильной треугольной призмы образована площадями всех ее пяти граней. Известно, что площадь пространственных фигур проще рассматривать и изучать на плоскости, поэтому удобно сделать развертку призмы. Она показана ниже.

Развертка представлена пятью фигурами двух типов, которые в призме являлись гранями.

Для определения площади всех этих фигур введем следующие обозначения: будем считать длину стороны основания равной a, а высоту (длину бокового ребра) равной h. С учетом обозначений получаем площадь одного треугольника:

При записи этой формулы использовалось стандартное выражение для площади треугольника. Площадь одного прямоугольника равна:

С учетом числа треугольников и прямоугольников (см. развертку выше) получим формулу для площади полной поверхности изучаемой геометрической фигуры:

S = 2 × S 3 + 3 × S 4 = √3 / 2 × a 2 + 3 × a × h

Здесь первый член в правой части равенства описывает площадь двух оснований, второй член позволяет вычислить площадь поверхности боковой.

Напомним, что полученная для S формула справедлива только для прямой правильной треугольной призмы. Если бы мы рассматривали наклонную фигуру, то выражение для S имело бы другой вид.

Формула для определения объема фигуры

Объемом любой пространственной фигуры называется та часть пространства, которую ограничивают грани многогранника. Объем любой призмы, независимо от формы ее основания и боковых сторон, может быть определен по следующей формуле:

То есть достаточно умножить площадь одного основания на высоту всей фигуры, чтобы получить искомое значение объема.

Для случая треугольной правильной призмы получаем следующее выражение для V:

V = S 0 × h = S 3 × h = √3 / 4 × a 2 × h

Записанная формула для V, а также выражение для S в предыдущем пункте зависят всего от двух параметров фигуры: длин a и h. То есть знание всего двух любых линейных параметров позволяет рассчитать все свойства изучаемой призмы.

Решение задачи

В физике треугольная правильная призма, изготовленная из сплошного стекла, часто применяется для разложения электромагнитного потока в видимой области спектра на ряд частот с целью их изучения. Необходимо определить, какой объем стекла понадобится, чтобы изготовить призму с площадью поверхности 300 см 2 и длиной стороны основания 10 см.

Сначала определим высоту призмы h. Воспользуемся формулой для S, имеем:

S = √3 / 2 × a 2 + 3 × a × h =>

h = (S - √3 / 2 × a 2) / (3 × a) = (300 - √3 / 2 × 10 2) / (3 × 10) = 7,11 см

Поскольку мы знаем значения a и h, то для определения объема призмы воспользуемся формулой для V:

V = √3 / 4 × a 2 × h = √3 / 4 × 10 2 × 7,11 = 307,87 см 3

Таким образом, чтобы изготовить описанную призму, понадобится около 308 см 3 стекла.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Задача

Решение .
Площадь правильного треугольника в основании призмы находится по формуле:

Принимаем во внимание первую формулу.

По условию задачи a = 6 см откуда S = √3 / 4 * 36 = 9√3

Поскольку у правильной треугольной призмы оснований два, то площадь оснований будет равна
9√3 * 2 = 18√3

Площадь каждой из граней будет равна 6 * 10 = 60, а поскольку граней три, то 60 * 3 = 180

Таким образом, площадь полной поверхности призмы будет равна 180 + 18√3 ≈ 211, 18 см кв.

Ответ : 180 + 18√3 ≈ 211,18

Задача

Геометрические фигуры в пространстве являются объектом изучения стереометрии, курс которой проходят школьники в старших классах. Данная статья посвящена такому совершенному многограннику, как призма. Рассмотрим подробнее свойства призмы и приведем формулы, которые служат для их количественного описания.

Что это - призма?

Каждый представляет, как выглядит параллелепипед или куб. Обе фигуры являются призмами. Однако, класс призм гораздо более разнообразен. В геометрии этой фигуре дается следующее определение: призмой является всякий многогранник в пространстве, который образован двумя параллельными и одинаковыми многоугольными сторонами и несколькими параллелограммами. Одинаковые параллельные грани фигуры называются ее основаниями (верхним и нижним). Параллелограммы же - это боковые грани фигуры, соединяющие стороны основания друг с другом.

Вам будет интересно:

Если основание представлено n-угольником, где n - целое число, тогда фигура будет состоять из 2+n граней, 2*n вершин и 3*n ребер. Грани и ребра относятся к одному из двух типов: либо они принадлежат боковой поверхности, либо основаниям. Что касается вершин, то все они являются равноправными и относятся к основаниям призмы.

Виды фигур изучаемого класса

Изучая свойства призмы, следует перечислить возможные виды этой фигуры:

• Выпуклые и вогнутые. Разница между ними заключается в форме многоугольного основания. Если оно является вогнутым, то таковой также будет объемная фигура, и наоборот.
• Прямые и наклонные. У прямой призмы боковые грани представлены либо прямоугольниками, либо квадратами. У наклонной фигуры боковые грани являются параллелограммами общего типа или ромбами.
• Неправильные и правильные. Чтобы изучаемая фигура была правильной, она должна быть прямой и иметь правильное основание. Примером последнего являются такие плоские фигуры, как равносторонний треугольник или квадрат.

Название призмы образуется с учетом перечисленной классификации. Например, упомянутый выше параллелепипед с прямыми углами или куб, называются правильной четырехугольной призмой. Правильные призмы, ввиду их высокой симметрии, удобно изучать. Их свойства выражаются в виде конкретных математических формул.

Площадь призмы

Когда рассматривают такое свойство призмы, как ее площадь, то имеют в виду суммарную площадь всех ее граней. Представить эту величину проще всего, если сделать развертку фигуры, то есть разложить все грани на одну плоскость. Ниже на рисунке показаны для примера развертки двух призм.

Для произвольной призмы формула площади ее развертки в общем виде может быть записана так:

S = 2*So + b*Psr.

Поясним обозначения. Величина So - это площадь одного основания, b - длина бокового ребра, Psr - периметр среза, который перпендикулярен боковым параллелограммам фигуры.

Записанной формулой часто пользуются для определения площадей наклонных призм. В случае правильной призмы выражение для S приобретет конкретный вид:

S = n/2*a2*ctg(pi/n) + n*b*a .

Первое слагаемое в выражении представляет площадь двух оснований правильной призмы, второе слагаемое - это площадь боковых прямоугольников. Здесь a - длина стороны правильного n-угольника. Отметим, что длина бокового ребра b для правильной призмы является также ее высотой h, поэтому в формуле b можно заменить на h.

Как вычислить объем фигуры?

Призма представляет собой сравнительной простой полиэдр с высокой симметрией. Поэтому для определения ее объема существует весьма простая формула. Она имеет следующий вид:

Вычислить площадь основания и высоту может быть сложно, если рассматривается наклонная неправильная фигура. Решается такая задача с помощью последовательного геометрического анализа с привлечением информации о двугранных углах между боковыми параллелограммами и основанием.

Если призма является правильной, тогда формула для V приобретает вполне конкретный вид:

V = n/4*a2*ctg(pi/n)*h.

Как видно, площадь S и объем V для правильной призмы определяются однозначно, если известны два ее линейных параметра.

Призма треугольная правильная

Завершим статью, рассмотрев свойства треугольной призмы правильной. Образована она пятью гранями, три из которых являются прямоугольниками (квадратами), и две - треугольниками равносторонними. Призма имеет шесть вершин и девять ребер. Для этой призмы формулы объема и площади поверхности записаны ниже:

S3 = √3/2*a2 + 3*h*a

V3 = √3/4*a2*h.

Помимо этих свойств, также полезно привести формулу для апофемы основания фигуры, которая представляет собой высоту ha равностороннего треугольника:

Боковые стороны призмы - это одинаковые прямоугольники. Длины их диагоналей d равны:

d = √(a2 + h2).

Знание геометрических свойств призмы треугольной представляет не только теоретический, но и практический интерес. Дело в том, что эту фигуру, изготовленную из оптического стекла, применяют для изучения спектра излучения тел.

Проходя через стеклянную призму, свет разлагается на ряд составляющих цветов в результате явления дисперсии, что создает условия для изучения спектрального состава электромагнитного потока.